Opgaver i Cirklens ligning
Fag: Matematik B
Opgave 1: Bestemmelse og fortolkning
En cirkel i et koordinatsystem er defineret ved sit centrum $C$ og sin radius $r$.
- Opgave a: En cirkel har centrum i $C(3, -2)$ og radius $r = 5$. Opstil en ligning for cirklen.
- Opgave b: En anden cirkel er givet ved ligningen $(x + 4)^2 + (y – 1)^2 = 49$. Bestem koordinatsættet for cirklens centrum og angiv dens radius.
- Opgave c: Undersøg ved beregning, om punktet $P(6, 2)$ ligger på cirkelperiferien for cirklen fra opgave a.
Opgave 2: Omskrivning af cirklens ligning
Nogle gange er en cirkels ligning ikke givet på standardform, og man skal bruge kvadratkomplettering for at finde centrum og radius.
- Opgave a: En cirkel er givet ved ligningen $x^2 – 4x + y^2 + 6y – 12 = 0$. Omskriv ligningen til standardformen $(x – x_0)^2 + (y – y_0)^2 = r^2$, og bestem herudfra centrum og radius.
- Opgave b: Bestem koordinatsættet til de punkter, hvor cirklen skærer x-aksen (dvs. hvor $y = 0$).
- Opgave c: Forklar, hvordan man ved hjælp af diskriminanten for en andengradsligning kan afgøre, om en linje skærer en cirkel i 0, 1 eller 2 punkter.
Opgave 3: Skæring med linjer og tangenter
Denne opgave fokuserer på de geometriske relationer mellem linjer og cirkler.
- Opgave a: En cirkel har ligningen $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 10$. Bestem koordinatsættet til skæringspunkterne mellem cirklen og linjen givet ved $y = x + 1$.
- Opgave b: Punktet $P(2, 5)$ ligger på cirklen fra opgave a. Bestem ligningen for tangenten til cirklen i punktet $P$. (Hint: En tangent er vinkelret på radiusvektoren fra centrum til røringspunktet).
- Opgave c: Redegør for den geometriske strategi, man bruger til at bestemme en tangents ligning. Hvorfor er det nødvendigt at kende både cirklens centrum og røringspunktet for at finde tangentens hældning?