Opgaver i $\chi^2$-test
Fag: Matematik B
Opgave 1: Goodness of Fit
En lokal bager forventer, at salget af deres tre typer morgenbrød fordeler sig således: 40% vælger Rundstykker, 40% vælger Horn og 20% vælger Gifler. En søndag sælger bageren 100 stykker brød med følgende fordeling:
- Rundstykker: 35
- Horn: 50
- Gifler: 15
- Opgave a: Opstil en nulhypotese ($H_0$), der beskriver bagerens forventning til fordelingen.
- Opgave b: Beregn de forventede værdier for hver af de tre kategorier baseret på de 100 solgte brød.
- Opgave c: En statistisk test giver en p-værdi på 0,11. Afgør på et 5% signifikansniveau, om bagerens forventning holder (nulhypotesen accepteres).
Opgave 2: Uafhængighedstest
En webshop vil undersøge, om der er sammenhæng mellem kundens køn og valg af betalingsmetode. De har indsamlet følgende data (observerede værdier):
| Kreditkort | MobilePay | Total | |
|---|---|---|---|
| Mand | 60 | 40 | 100 |
| Kvinde | 30 | 70 | 100 |
| Total | 90 | 110 | 200 |
- Opgave a: Opstil en nulhypotese ($H_0$) om uafhængighed mellem køn og betalingsmetode.
- Opgave b: Beregn den forventede værdi for cellen “Mand / Kreditkort” under antagelse af, at nulhypotesen er sand.
- Opgave c: Testen giver en $\chi^2$-teststørrelse på 18,18 og en p-værdi tæt på 0. Hvad kan webshoppen konkludere om deres kunders betalingsvaner på et 5% signifikansniveau?
Opgave 3: Fortolkning og fejlkilder
En virksomhed tester medarbejdertilfredsheden i tre forskellige afdelinger (Salg, Produktion, Administration). Svarene er inddelt i “Tilfreds” og “Utilfreds”.
- Opgave a: Forklar, hvordan man beregner antallet af frihedsgrader ($df$) i en uafhængighedstest med en $3 \times 2$ tabel.
- Opgave b: Beskriv forskellen på den observerede værdi og den forventede værdi, og forklar, hvordan en stor forskel mellem disse påvirker $\chi^2$-teststørrelsen og p-værdien.
- Opgave c: Diskuter betydningen af signifikansniveauet. Hvad betyder det for virksomhedens beslutningsgrundlag, hvis man vælger et signifikansniveau på 1% i stedet for 5%?