Opgaver i Afledede funktioner
Fag: Matematik B
Opgave 1: Differentiation af grundlæggende funktioner
Bestem den afledede funktion $f’(x)$ for hver af følgende funktioner:
- Opgave a: $f(x) = 8x + 5$
- Opgave b: $f(x) = e^x$
- Opgave c: $f(x) = 125$
Opgave 2: Kombination af regneregler
En funktion er givet ved $$ f(x) = 3 \cdot e^x – 4x + 10 $$
- Opgave a: Bestem den afledede funktion $f’(x)$ ved at anvende regnereglerne for sum, differens og konstant multipliceret med funktion.
- Opgave b: Beregn $f’(1)$.
- Opgave c: Bestem værdien af $x$, således at $f’(x) = 3 \cdot e^2 – 4$.
Opgave 3: Eksponentiel vækst og anvendelse
Inden for økonomi benyttes ofte eksponentielle udviklinger. Udviklingen i værdien af en investering (i kroner) kan beskrives med $f(x) = 500 \cdot 1,05^x$, mens en anden investerings værdi følger modellen $g(x) = 500 \cdot e^x$ (x er antal år).
- Opgave a: Bestem den afledede funktion for $g(x) = 500 \cdot e^x$.
- Opgave b: Bestem den afledede funktion for $f(x) = 500 \cdot 1,05^x$.
- Opgave c: Forklar den erhvervsøkonomiske betydning af $f’(x)$. Hvad er forskellen i enheden af $f(x)$ og $f’(x)$?
- Opgave d: Redegør for, hvorfor den afledede funktion af $e^x$ er unik sammenlignet med alle andre funktionstyper, og hvordan konstanten $k$ i $k \cdot f(x)$ påvirker grafens stejlhed.