Opgaver i Sammensatte Funktioner og Differentialregning
Fag: Matematik B HHX
Opgave 1: Sammensatte funktioner
En indre funktion er givet ved $u(x) = 2x + 1$, og en ydre funktion er givet ved $f(u) = u^2$.
- Opgave a: Bestem den sammensatte funktion $f(u(x))$ ved at substituere $u(x)$ ind i $f(u)$.
- Opgave b: Beregn værdien af den sammensatte funktion i $x = 2$, dvs. $f(u(2))$.
- Opgave c: Forklar med ord, hvad det betyder at have en “sammensat funktion”.
Opgave 2: Kædereglen – differentiation af sammensatte funktioner
Tre sammensatte funktioner er givet ved: $$f(x) = (3x + 2)^4$$ $$g(x) = e^{2x}$$ $$h(x) = \ln(x^2 + 1)$$
- Opgave a: Bestem $f’(x)$ ved hjælp af kædereglen $(f(u(x)))’ = f’(u(x)) \cdot u’(x)$. Angiv først den indre funktion $u(x)$ og den ydre funktion $f(u)$.
- Opgave b: Bestem $g’(x)$ og $h’(x)$ ved hjælp af kædereglen.
- Opgave c: Beregn $f’(0)$, $g’(1)$ og $h’(1)$.
Opgave 3: Kædereglen og tangentens ligning
En funktion er givet ved: $$f(x) = \sqrt{x^2 + 3x + 2}$$
Dette kan også skrives som $f(x) = (x^2 + 3x + 2)^{1/2}$.
- Opgave a: Bestem $f’(x)$ ved hjælp af kædereglen.
- Opgave b: Bestem tangentens ligning til grafen for $f$ i punktet hvor $x = 1$.