Opgaver i Funktioner af to Variabler
Fag: Matematik A
Emne: Funktioner af to variabler
Opgave 1: Karakteren 02
Emne: Funktionsværdi og basal forståelse.
En funktion af to variable er givet ved $$ f(x,y) = 2x + 3y – 4 $$
- Opgave a: Beregn funktionsværdien $f(1,2)$.
- Opgave b: Bestem alle punkter $(x,y)$, hvor $f(x,y) = 0$.
- Opgave c: Forklar med ord, hvordan grafen for $f$ ser ud i rummet.
Opgave 2: Karakteren 4
Emne: Niveaukurver og fortolkning.
En funktion er givet ved $$ g(x,y) = x^2 + y^2 $$
- Opgave a: Bestem ligningen for niveaukurven, der svarer til funktionsværdien $g(x,y) = 9$.
- Opgave b: Beskriv geometrisk, hvad niveaukurven fra a) repræsenterer.
- Opgave c: Forklar, hvordan niveaukurverne for $g$ ændrer sig, når niveauet ($g(x,y)$) vokser.
Opgave 3: Karakteren 7
Emne: Partielle afledede og væksthastighed.
En funktion er givet ved $$ h(x,y) = x^2y + 3xy^2 $$
- Opgave a: Bestem de partielle afledede $h_x(x,y)$ og $h_y(x,y)$.
- Opgave b: Beregn $h_x(1,1)$ og $h_y(1,1)$.
- Opgave c: Forklar, hvad de fundne værdier fortæller om funktionens lokale ændring i punktet $(1,1)$.
Opgave 4: Karakteren 10
Emne: Tangentplan og lineær approksimation.
En funktion er givet ved $$ f(x,y) = x^2 + xy + y^2 $$
- Opgave a: Bestem de partielle afledede $f_x$ og $f_y$.
- Opgave b: Bestem ligningen for tangentplanet til grafen for $f$ i punktet $(1,1,f(1,1))$.
- Opgave c: Brug tangentplanet til at lave en lineær approksimation af $f(1.02,0.98)$.
- Opgave d: Diskuter, hvornår en lineær approksimation er en god model.
Opgave 5: Karakteren 12
Emne: Optimering, kritiske punkter og modelvurdering.
En funktion er givet ved $$ F(x,y) = x^3 + y^3 – 3xy $$
- Opgave a: Bestem alle kritiske punkter for $F$.
- Opgave b: Undersøg hvert kritisk punkt ved hjælp af andenordens partielle afledede ($F_{xx}$ og $F_{yy}$) og klassificér punkterne som maksimum, minimum eller saddelpunkt.
- Opgave c: Skitser niveaukurverne i nærheden af et af de kritiske punkter og forklar sammenhængen mellem niveaukurvernes form og punktets type.
- Opgave d: Diskuter kort, hvordan funktioner af to variable kan anvendes i økonomiske modeller, og hvilke begrænsninger sådanne modeller har.