Opgaver i Trigonometri

Fag: Matematik C

Emne: Trigonometri

Opgave 1: Karakteren 02

Emne: Pythagoras og retvinklede trekanter

Du har en retvinklet trekant $ABC$, hvor vinkel $C$ er $90^\circ$. Længderne af de to kateter er $a = 6$ og $b = 8$.

  • Opgave a: Beregn hypotenusen $c$ ved hjælp af Pythagoras’ læresætning: $a^2 + b^2 = c^2$.
  • Opgave b: Beregn længden af kateten i en retvinklet trekant, hvor hypotenusen har længden 10, og den anden katete har længden 7.

Opgave 2: Karakteren 4

Emne: Trigonometri i retvinklede trekanter

I en retvinklet trekant $ABC$ (hvor $C = 90^\circ$) kender du vinkel $A = 35^\circ$ og hypotenusen $c = 12$.

  • Opgave a: Beregn siden $a$ ved hjælp af sinus-formlen: $$\sin(A) = \frac{\text{modstående katete}}{\text{hypotenuse}}$$
  • Opgave b: Beregn siden $b$ ved hjælp af cosinus-formlen: $$\cos(A) = \frac{\text{hosliggende katete}}{\text{hypotenuse}}$$
  • Opgave c: Find vinkel $B$.

Opgave 3: Karakteren 7

Emne: Sinusrelationer i vilkårlige trekanter

Du har en vilkårlig trekant $ABC$, hvor du kender følgende: $A = 40^\circ$, $B = 80^\circ$ og siden $a = 10$.

  • Opgave a: Beregn vinkel $C$.
  • Opgave b: Beregn siden $b$ ved hjælp af sinusrelationen: $\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)}$.
  • Opgave c: Beregn trekantens areal $T$ ved hjælp af formlen: $T = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C ) $.

Opgave 4: Karakteren 10

Emne: Cosinusrelationer og ensvinklede trekanter

  • Opgave a: I en trekant $ABC$ er $a = 7$, $b = 9$ og $c = 12$. Beregn vinkel $A$ ved hjælp af cosinusrelationen: $\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}$.
  • Opgave b: Du har to ensvinklede trekanter. Den lille trekant har siderne 3, 4 og 5. Den store trekant har en tilsvarende side til siden med længden 3, som er 12.
  • Bestem skalafaktoren $k$.
  • Beregn de resterende sider i den store trekant.
  • Opgave c: Forklar, hvad der sker med arealet af en figur, hvis man gør alle dens sider dobbelt så lange ($k = 2$).

Opgave 5: Karakteren 12

Emne: Teoretisk bevis og kritisk analyse

  • Opgave a: Gennemfør beviset for arealligningen $T = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C )$.
  • Opgave b: Hvorfor kan man ikke bruge cosinusrelationerne til at beregne vinkler i en trekant, hvor summen af de to korteste sider er mindre end den længste side?