Opgaver i Toppunkt for et Andengradspolynomium
Fag: Matematik B
Opgave 1: Toppunkts-formlerne
Et andengradspolynomium er givet ved forskriften: $$f(x) = x^2 – 6x + 5$$
- Opgave a: Identificer koefficienterne $a$ og $b$, og beregn toppunktets x-koordinat ved hjælp af formlen $x_T = \frac{-b}{2a}$.
- Opgave b: Beregn toppunktets y-koordinat ($y_T$) ved at indsætte den fundne x-værdi i forskriften, altså beregn $f(x_T)$.
- Opgave c: Kontrollér dit resultat for y-koordinaten ved også at bruge formlen $y_T = \frac{-d}{4a}$.
Opgave 2: Symmetri
Et andet andengradspolynomium er givet ved: $$g(x) = -2x^2 + 8x$$
- Opgave a: Find rødderne for funktionen ved at løse ligningen $g(x) = 0$.
- Opgave b: Bestem toppunktets x-koordinat ($x_T$) ved at finde tallet midt imellem de to rødder. Vis derefter, at du får præcis samme resultat, hvis du bruger formlen $x_T = \frac{-b}{2a}$.
- Opgave c: Bestem toppunktets y-koordinat. Du må selv vælge, om du vil indsætte x-værdien i forskriften eller bruge diskriminant-formlen.
Opgave 3: Anvendelse
En bold kastes op i luften. Boldens højde $h$ (målt i meter) som funktion af tiden $t$ (målt i sekunder) er givet ved: $$h(t) = -5t^2 + 10t + 2$$
- Opgave a: Beregn diskriminanten $d$, og forklar hvad fortegnet for $a$ fortæller om parablens grene (vender de op eller ned?).
- Opgave b: Beregn koordinatsættet til toppunktet $(t_T, h_T)$ ved at benytte formlerne: $$t_T = \frac{-b}{2a} \quad \text{og} \quad h_T = \frac{-d}{4a}$$
- Opgave c: Fortolk resultatet: Hvor højt er bolden oppe, når den er på sit højeste, og til hvilket tidspunkt sker det?