Opgaver i Statistik
Fag: Matematik B
Emne: Statistik
Opgave 1: Karakteren 02
Emne: Beskrivende statistik for ugrupperet data.
En klasse har fået følgende karakterer til en intern prøve i virksomhedsøkonomi:
$02, 4, 4, 7, 7, 7, 10, 10, 12$
- Opgave a: Bestem middeltallet (gennemsnittet), medianen og typetallet for datasættet.
- Opgave b: Bestem variationsbredden og standardafvigelsen.
Forklar kort, hvad standardafvigelsen siger om spredningen af karaktererne. - Opgave c: Undersøg ved hjælp af kvartilsættet, om der er usædvanlige observationer (outliers).
Opgave 2: Karakteren 4
Emne: Grupperet data, boksplot og fortolkning.
I en analyse af højden på ansatte i en virksomhed indgår 120 personer. Data er grupperet, og følgende deskriptorer er bestemt:
$$ Q_1 = 168 \text{ cm}, \quad \text{Median} = 175 \text{ cm}, \quad Q_3 = 183 \text{ cm} $$
Den mindste observerede højde er 158 cm, og den største er 202 cm.
- Opgave a: Tegn et boksplot (kassediagram) over observationerne.
- Opgave b: Forklar, hvad tredje kvartil på 183 cm fortæller om fordelingen af højder.
- Opgave c: Vurder, ud fra boksplottet, om højdefordelingen kan betragtes som nogenlunde symmetrisk.
Opgave 3: Karakteren 7
Emne: Grupperet data, sumkurve og sandsynlighed.
En producent undersøger levetiden på et stort antal batterier. Resultaterne er opdelt i intervaller (timer), og de kumulerede frekvenser er beregnet.
- Opgave a: Tegn en sumkurve på baggrund af de kumulerede frekvenser.
- Opgave b: Bestem kvartilsættet grafisk ved hjælp af sumkurven.
- Opgave c: Bestem sandsynligheden for, at et tilfældigt valgt batteri holder mere end 1000 timer.
- Opgave d: Forklar kort, hvilke usikkerheder der er forbundet med at aflæse værdier på en sumkurve.
Opgave 4: Karakteren 10
Emne: Konfidensinterval og hypotesetest i binomialfordelingen.
En virksomhed hævder, at mindst 20% af deres kunder vil anbefale virksomheden til andre.
I en stikprøve på 250 kunder svarer 38, at de vil anbefale virksomheden.
- Opgave a: Opstil en nulhypotese $H_0$ og en alternativ hypotese $H_1$.
- Opgave b: Bestem et 95% konfidensinterval for andelen af kunder, der vil anbefale virksomheden.
- Opgave c: Gennemfør en test af nulhypotesen ved et signifikansniveau på 5%.
Beregn p-værdien og tag stilling til, om nulhypotesen kan forkastes. - Opgave d: Forklar sammenhængen mellem resultatet af testen og konfidensintervallet.
Opgave 5: Karakteren 12
Emne: Hypotesetest, kritisk område og statistisk modellering.
En politisk analysevirksomhed undersøger, om opbakningen til et forslag har ændret sig siden sidste valg, hvor 25% af vælgerne støttede forslaget.
I en ny stikprøve på 600 vælgere svarer 120 ja.
- Opgave a: Opstil relevante hypoteser og gennemfør en tosidet binomialtest ved et signifikansniveau på 5%.
- Opgave b: Bestem det kritiske område for testen og forklar, hvordan det hænger sammen med signifikansniveauet.
- Opgave c: Bestem et 95% konfidensinterval for støtten til forslaget og vurder, om resultatet understøtter testens konklusion.
- Opgave d: Diskuter stikprøveusikkerhed og testens styrke.
Hvordan ville både konfidensinterval og testens konklusion typisk ændre sig, hvis stikprøvestørrelsen blev 4-doblet?