Opgaver i Sandsynlighedsregning
Fag: Matematik A
Emne: Sandsynlighedsregning
Opgave 1: Karakteren 02
Emne: Symmetrisk sandsynlighedsfelt.
Du kaster med to almindelige seks-sidede terninger og lægger deres øjne sammen.
- Opgave: Bestem sandsynligheden for, at summen af øjnene er præcis 7.
Opgave 2: Karakteren 4
Emne: Kombinatorik.
I en klasse med 20 elever skal der vælges et udvalg på 4 personer til at planlægge en fest.
- Opgave: På hvor mange forskellige måder kan dette udvalg sammensættes?
Opgave 3: Karakteren 7
Emne: Binomialfordelingen.
En fabrik producerer komponenter, hvor 5% af dem er defekte. Man udtager en stikprøve på 50 komponenter. Lad den stokastiske variabel $X$ betegne antallet af defekte komponenter i stikprøven.
- Opgave a: Gør rede for, at $X$ kan beskrives som en binomialfordelt stokastisk variabel, og angiv parametrene $n$ og $p$.
- Opgave b: Beregn sandsynligheden for, at der er præcis 3 defekte komponenter i stikprøven, altså $P(X = 3)$.
- Opgave c: Beregn sandsynligheden for, at der er højst 2 defekte komponenter, altså $P(X \leq 2)$.
Opgave 4: Karakteren 10
Emne: Normalfordelingen.
Vægten af sukker i poser fra en bestemt pakkemaskine antages at være normalfordelt med en middelværdi $\mu = 1000$ gram og en spredning (standardafvigelse) $\sigma = 10$ gram.
- Opgave a: Bestem sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt pose vejer mellem 985 og 1015 gram.
- Opgave b: Fabrikken ønsker at sikre, at kun 2,5% af poserne vejer mindre end en bestemt grænseværdi $k$. Bestem denne værdi $k$.
Opgave 5: Karakteren 12
Emne: Middelværdi, spredning og binomialteori.
En stokastisk variabel $X$ er givet ved følgende sandsynlighedsfordeling:
| $x_i$ | 1 | 2 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| $P(X = x_i)$ | 0,4 | 0,3 | 0,2 | 0,1 |
- Opgave a: Beregn middelværdien $E(X)$ (også kaldet $\mu$) og spredningen $\sigma$ for $X$. Forklar med ord, hvad middelværdien fortæller os om et stort antal gentagelser af eksperimentet.
- Opgave b: Redegør for opbygningen af formlen for binomialfordelingen: $P(X = r) = K(n,r) \cdot p^r \cdot (1-p)^{n-r}$ Du skal forklare, hvad hver af de tre dele af formlen repræsenterer (kombinationstallet, sandsynligheden for succes og sandsynligheden for fiasko), og hvorfor de skal ganges sammen.