Opgaver i Sandsynlighedsfordelinger
Fag: Matematik A
Emne: Sandsynlighedsfordelinger
Opgave 1: Karakteren 02
Emne: Diskret stokastisk variabel og middelværdi.
En stokastisk variabel $X$ har følgende sandsynlighedsfordeling:
| $x_i$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| $P(X = x_i)$ | 0,1 | 0,4 | 0,3 | 0,2 |
- Opgave a: Eftervis, at summen af sandsynlighederne er 1.
- Opgave b: Beregn sandsynligheden $P(X \geq 2)$.
- Opgave c: Beregn middelværdien $E(X)$ for den stokastiske variabel.
Opgave 2: Karakteren 4
Emne: Binomialfordelingen.
I en stor population er det kendt, at 25% af personerne har en bestemt genetisk egenskab. Man udtager tilfældigt en stikprøve på 20 personer. Lad $X$ være antallet af personer i stikprøven med denne egenskab.
- Opgave a: Gør rede for, at $X$ er binomialfordelt, og opskriv de to parametre $n$ og $p$.
- Opgave b: Beregn sandsynligheden for, at netop 5 personer i stikprøven har egenskaben, altså $P(X = 5)$.
- Opgave c: Beregn sandsynligheden for, at mindst 7 personer i stikprøven har egenskaben.
Opgave 3: Karakteren 7
Emne: Normalfordelingen.
Højden af voksne mænd i en bestemt befolkning antages at være normalfordelt med en middelværdi på $\mu = 180 \text{ cm}$ og en spredning på $\sigma = 7 \text{ cm}$.
- Opgave a: Bestem sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt mand er mellem 175 cm og 190 cm høj.
- Opgave b: Bestem den højde, som de 10% højeste mænd i befolkningen er over (find 90%-fraktilen).
- Opgave c: Skitsér normalfordelingens tæthedsfunktion (klokkekurven) og marker det område, der svarer til $P(X \leq 173)$.
Opgave 4: Karakteren 10
Emne: Hypotesetest i binomialfordelingen.
En producent påstår, at højst 10 % af deres varer har skønhedsfejl. En kvalitetskontrol mistænker, at andelen er højere, og udtager en stikprøve på 200 varer. Det viser sig, at 28 af varerne har skønhedsfejl.
- Opgave a: Opstil en nulhypotese $H_0$ og en alternativ hypotese $H_1$ for denne test. Er der tale om en ensidet eller en tosidet test?
- Opgave b: Beregn p-værdien for stikprøvens resultat under antagelse af, at $H_0$ er sand.
- Opgave c: Afgør på et 5% signifikansniveau, om producentens påstand skal forkastes. Begrund din konklusion.
Opgave 5: Karakteren 12
Emne: Teoretisk sandsynlighed og konfidensintervaller.
- Opgave a: Redegør for opbygningen af binomialkoefficienten $K(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ og forklar dens betydning i formlen for binomialfordelingen: $$P(X=r) = \binom{n}{r} \cdot p^r \cdot (1-p)^{n-r}$$
- Opgave b: Forklar begrebet “konfidensinterval for en sandsynlighedsparameter $p$”. Hvordan ændrer bredden af et 95% konfidensinterval sig, hvis stikprøvens størrelse $n$ firedobles, mens stikprøveandelen $\hat{p}$ forbliver den samme?
- Opgave c: Diskuter forskellen på at lave en hypotesetest og at opstille et konfidensinterval. Kan man bruge et 95% konfidensinterval til at vurdere, om en bestemt værdi $p_0$ kan forkastes som nulhypotese på et 5% signifikansniveau? Redegør for din tankegang.