Opgaver i Restgældsformlen og Amortisationstabel
Fag: Matematik C
Opgave 1: Beregning af restgæld
Når man har betalt på et annuitetslån i et bestemt antal terminer ($t$), kan man beregne, hvor meget man stadig skylder. Dette kaldes restgælden $R_t$. Formlen lyder: $$R_t = A_0 \cdot (1+r)^t – y \cdot \frac{(1+r)^t – 1}{r}$$ Hvor $A_0$ er det oprindelige lån, $r$ er renten pr. termin, $y$ er den faste ydelse, og $t$ er antallet af betalte terminer.
En person har lånt 10.000 kr. til en ny maskine. Renten er 1,0% pr. måned, og den månedlige ydelse er 500 kr. Personen har nu betalt på lånet i 10 måneder.
- Opgave a: Identificer værdierne for $A_0, r, y$ og $t$ ud fra teksten.
- Opgave b: Beregn restgælden $R_t$ efter de 10 måneder ved hjælp af formlen.
- Opgave c: Hvor meget har personen i alt betalt til banken i de første 10 måneder, og hvor meget er gælden reelt faldet med?
Opgave 2: Analyse af restgældens udvikling
Restgælden falder ikke lineært, fordi renteandelen ændrer sig undervejs i lånets forløb.
En virksomhed har optaget et lån på 200.000 kr. til en rente på 2,0% pr. kvartal. Den kvartalsvise ydelse er fastsat til 10.000 kr.
- Opgave a: Beregn virksomhedens restgæld efter 2 år (dvs. efter 8 kvartaler).
- Opgave b: Beregn restgælden efter 4 år (16 kvartaler). Er gælden faldet mest i de første to år eller i de efterfølgende to år?
- Opgave c: Beregn, hvor meget virksomheden i alt har betalt i renter efter de første 8 kvartaler.
Opgave 3: Amortisationstabel
En amortisationstabel giver et fuldt overblik over et lån termin for termin. Et lån på 50.000 kr. skal tilbagebetales med en fast ydelse på 10.000 kr. pr. år til en rente på 5% pr. år.
- Opgave a: Udfyld de manglende værdier i tabellen for de første to terminer:
| Termin | Gæld primo | Rente (5%) | Ydelse | Afdrag | Gæld ultimo |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 50.000 | 2.500 | 10.000 | 7.500 | 42.500 |
| 2 | 42.500 | ? | 10.000 | ? | ? |
- Opgave b: Forklar, hvorfor rentebeløbet bliver mindre for hver termin, mens afdraget bliver større, når ydelsen er fast.
- Opgave c: I den sidste termin vil restgælden ofte være mindre end den faste ydelse $y$. Redegør for, hvordan man finder den præcise størrelse på den sidste ydelse, så lånet går præcis i nul. Hvorfor er det vigtigt for en bank eller en virksomhed at have en præcis amortisationstabel frem for blot at bruge gældsformlen?