Opgaver i Proportionaliteter

Fag: Matematik C

Opgave 1: Forskrift og simpel beregning

For to variable $x$ og $y$ gælder følgende:

  1. Ligefrem proportionalitet: $y = k \cdot x$ (hvor forholdet $y/x$ er konstant).
  2. Omvendt proportionalitet: $y = \frac{k}{x}$ eller $y = k \cdot x^{-1}$ (hvor produktet $x \cdot y$ er konstant).
  • Opgave a: En sammenhæng er ligefrem proportional. Det oplyses, at når $x = 4$, er $y = 20$. Bestem proportionalitetskonstanten $k$ og opstil forskriften.
  • Opgave b: En anden sammenhæng er omvendt proportional. Det oplyses, at når $x = 2$, er $y = 10$. Bestem konstanten $k$ og beregn $y$, når $x = 5$.
  • Opgave c: Kig på følgende tre funktionsforskrifter. Afgør for hver af dem, om der er tale om ligefrem proportionalitet, omvendt proportionalitet eller ingen af delene:
    1. $f(x) = 0{,}5x$
    2. $g(x) = \frac{100}{x}$
    3. $h(x) = 2x + 1$

Opgave 2: Simpel anvendelse

Vi ser på to forskellige praktiske eksempler.

Eksempel A: En timelønnet medarbejder tjener et fast beløb pr. time. Lønnen $L$ er ligefrem proportional med antallet af arbejdstimer $t$. For 8 timers arbejde får medarbejderen 1.200 kr.

Eksempel B: En gruppe venner skal leje en bus til 3.000 kr. Prisen pr. person $P$ er omvendt proportional med antallet af personer $n$, der deltager i turen.

  • Opgave a: Opstil en model for både eksempel A og eksempel B (bestem $k$ og skriv forskrifterne).
  • Opgave b: I eksempel A: Hvor meget tjener medarbejderen på 12 timer? I eksempel B: Hvad koster det pr. person, hvis der er 15 deltagere?
  • Opgave c: Beskriv forskellen på graferne for de to eksempler. Hvilken graf er en ret linje gennem origo $(0,0)$, og hvilken graf er en hyperbel, der aldrig rører akserne?

Opgave 3: Modellering

Inden for naturvidenskab og teknik bruges proportionaliteter til at beskrive fundamentale love.

  • Opgave a (Skalering): For en ligefrem proportionalitet $f(x) = kx$ gælder, at hvis man fordobler $x$, så fordobles $y$ også. Vis ved beregning, at for en omvendt proportionalitet $g(x) = \frac{k}{x}$ vil en fordobling af $x$ medføre en halvering af $y$.
  • Opgave b (Ohms Lov): I et elektrisk kredsløb med konstant spænding $U$ er strømstyrken $I$ omvendt proportional med modstanden $R$ ($I = \frac{U}{R}$). Hvis modstanden i et kredsløb øges med 25%, hvor mange procent falder strømstyrken så?
  • Opgave c (Linearisering): Hvis man har data, som man mistænker for at være omvendt proportionale, kan man “linearisere” dem. Forklar, hvorfor man får en ret linje, hvis man tegner $y$ som funktion af $\frac{1}{x}$ (altså lader den uafhængige variabel være den reciprokke værdi af $x$). Hvad vil hældningen på denne rette linje svare til?