Opgaver i Potensregression
Fag: Matematik C
Opgave 1: Grundlæggende potensregression
I denne opgave skal du bruge et matematikprogram til at finde den potenssammenhæng, der bedst beskriver en række punkter. Vi har følgende data:
| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | 2,0 | 8,1 | 18,2 | 32,4 | 50,2 |
- Opgave a: Ved hjælp af potensregression angiv forskriften på formen $f(x) = b \cdot x^a$.
- Opgave b: Identificer eksponenten $a$ og konstanten $b$.
- Opgave c: Brug din model til at beregne, hvad $y$ er, når $x = 10$.
Opgave 2: Modellering af vægt og dimensioner
En HTX-elev undersøger sammenhængen mellem diameteren $d$ (i mm) af stålkugler og deres vægt $W$ (i gram). Da vægt er tæt knyttet til rumfang, forventes en potenssammenhæng.
| Diameter $d$ (mm) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|
| Vægt $W$ (g) | 4,1 | 32,9 | 110,8 | 262,4 | 512,5 |
- Opgave a: Gennemfør en potensregression over dataene og angiv forskriften $W(d) = b \cdot d^a$ samt forklaringsgraden $R^2$.
- Opgave b: Inden for geometrien ved man, at rumfanget af en kugle er proportionalt med diameteren i tredje potens ($d^3$). Stemmer din beregnede eksponent $a$ overens med denne teori? Begrund dit svar.
- Opgave c: Brug modellen til at forudsige vægten af en stålkugle med en diameter på $80 \text{ mm}$.
Opgave 3: Luftmodstand
En teknisk virksomhed tester luftmodstanden $F$ (målt i Newton) på en ny type drone ved forskellige hastigheder $v$ (målt i m/s).
| Hastighed $v$ (m/s) | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Modstand $F$ (N) | 0,45 | 1,78 | 4,10 | 7,25 | 11,40 | 16,50 |
- Opgave a: Bestem forskriften for en potensmodel $F(v) = b \cdot v^a$ ved hjælp af regression. Vurder modellens pålidelighed ved at inddrage $R^2$ og en grafisk vurdering (ligger punkterne tæt på kurven?).
- Opgave b: I fysik modelleres luftmodstand ofte som $F = k \cdot v^2$. Hvis din beregnede eksponent $a$ afviger fra $2$, diskuter da mulige fejlkilder i forsøget eller grunde til, at modellen ikke er præcis kvadratisk (f.eks. turbulens eller måleusikkerhed).
- Opgave c: Redegør for modellens gyldighedsområde. Hvad forudsiger modellen, at modstanden er, når dronen står stille ($v=0$)? Give en vurdering af, om man kan bruge modellen til at forudsige modstanden ved lydens hastighed ($343 \text{ m/s}$).