Opgaver i Polynomier

Fag: Matematik B

Emne: Polynomier

Opgave 1: Karakteren 02

Emne: Grundlæggende analyse af andengradspolynomium

Du har funktionen

$$ f(x) = 2x^2 – 4x + 5 $$

  • Opgave a: Bestem koefficienterne $a$, $b$ og $c$.
  • Opgave b: Forklar, om parablen vender grenene opad eller nedad, og begrund dit svar.
  • Opgave c: Bestem funktionsværdien $f(0)$ og forklar, hvad denne værdi fortæller om grafen.

Opgave 2: Karakteren 4

Emne: Diskriminant, rødder og grafisk fortolkning

Du har følgende andengradspolynomier:

  • $g(x) = x^2 – 4x + 4$

  • $h(x) = 2x^2 – 3x + 5$

  • $i(x) = -x^2 + 5x – 4$

  • Opgave a: Beregn diskriminanten for hver funktion.

  • Opgave b: Afgør antallet af rødder for hver funktion.

  • Opgave c: Forklar sammenhængen mellem diskriminantens fortegn og grafens skæringer med x-aksen.

Opgave 3: Karakteren 7

Emne: Toppunkt, rødder og monotoniforhold

Du har funktionen
$$ f(x) = x^2 – 6x + 5 $$

  • Opgave a: Bestem funktionens rødder.
  • Opgave b: Bestem koordinatsættet til toppunktet.
  • Opgave c: Bestem de intervaller, hvor funktionen er voksende og aftagende.
  • Opgave d: Forklar sammenhængen mellem toppunktet og funktionens monotoni.

Opgave 4: Karakteren 10

Emne: Modellering, optimering og fortolkning

En virksomheds omsætning $O$ (i tusinde kroner) afhænger af antallet $x$ af solgte enheder og kan modelleres ved: $$ O(x) = -0,5x^2 + 20x + 30 $$

  • Opgave a: Forklar, hvorfor det er rimeligt at anvende et andengradspolynomium som model.
  • Opgave b: Bestem det antal enheder, der giver maksimal omsætning.
  • Opgave c: Bestem den maksimale omsætning.
  • Opgave d: Bestem de værdier af $x$, hvor omsætningen er $0$, og fortolk disse i den givne kontekst.

Opgave 5: Karakteren 12

Emne: Teoretisk analyse og parameterforståelse

Betragt den generelle andengradfunktion $$ f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0 $$

  • Opgave a: Udled formlen for bestemmelse af $x$‑koordinaten for toppunktet.
  • Opgave b: Redegør for, hvordan koefficienterne $a$, $b$ og $c$ hver især påvirker grafens udseende og placering.
  • Opgave c: Diskuter sammenhængen mellem diskriminanten, toppunktets placering og antallet af rødder.
  • Opgave d: Vurder modellens begrænsninger i anvendelsesorienterede sammenhænge, f.eks. i økonomiske modeller.