Opgaver i Optimering vha. Lineær Programmering

Fag: Matematik B

Opgave 1: Et simpelt problem

En lille virksomhed producerer to slags kager: Sandkager ($x$) og Chokoladekager ($y$). Virksomheden har én begrænsende ressource: Ovntid. Der er 12 timer til rådighed.

  • En sandkage tager 1 time i ovnen.

  • En chokoladekage tager 2 timer i ovnen.

  • Fortjenesten er 20 kr. pr. sandkage og 30 kr. pr. chokoladekage.

  • Opgave a: Opstil uligheden for ovntiden samt en forskrift for kriteriefunktionen $N(x, y)$. Husk ikke-negativitetsbetingelserne ($x,y \geq 0$).

  • Opgave b: Mulighedsområdet er en trekant afgrænset af punkterne $(0,0)$, $(12, 0)$ og $(0, 6)$. Tegn (skitser) dette område i et koordinatsystem.

  • Opgave c: Lav hjørneinspektion ved at beregne værdien af $N(x,y)$ i de tre hjørner. Hvor mange kager af hver slags skal virksomheden bage for at tjene mest muligt?

Opgave 2: To begrænsninger

En fabrik producerer Stole ($x$) og Borde ($y$). Produktionen begrænses af to afdelinger:

  1. Montage: $x + y \leq 10$
  2. Lakering: $2x + y \leq 14$

Dækningsbidraget er givet ved kriteriefunktionen: $DB(x, y) = 300x + 200y$.

  • Opgave a: Indtegn de to begrænsningslinjer i et koordinatsystem og markér mulighedsområdet (polygonet).
  • Opgave b: Mulighedsområdet har fire hjørner: $(0,0)$, skæringen med y-aksen, skæringen med x-aksen, og skæringspunktet mellem de to linjer. Beregn koordinatsættet for alle fire hjørner.
  • Opgave c: Find den optimale produktionsplan ved at beregne $DB(x,y)$ i alle hjørnerne (hjørneinspektion). Hvad bliver det maksimale dækningsbidrag?

Opgave 3: Niveaulinje-metoden

En virksomhed har opstillet følgende model for deres produktion af vare A ($x$) og vare B ($y$):

  • Begrænsning 1: $2x + 4y \leq 60$

  • Begrænsning 2: $3x + 2y \leq 48$

  • $x, y \geq 0$

  • Dækningsbidrag: $DB(x, y) = 50x + 50y$

  • Opgave a: Tegn mulighedsområdet præcist i et koordinatsystem (eller beskriv præcist, hvilke punkter der afgrænser det).

  • Opgave b: Bestem hældningskoefficienten for en vilkårlig niveaulinje for kriteriefunktionen. Sammenlign denne hældning med hældningerne for de to begrænsningslinjer.

  • Opgave c: Argumentér grafisk for, i hvilket hjørne den optimale løsning må ligge, ved at “skubbe” niveaulinjen gennem mulighedsområdet. Beregn det maksimale dækningsbidrag.