Opgaver i Nulpunkter for Andengradspolynomier

Fag: Matematik B

Opgave 1: Diskriminanten og antal nulpunkter

Vi betragter tre forskellige andengradspolynomier:

  1. $f(x) = x^2 – 4x + 3$
  2. $g(x) = x^2 – 4x + 4$
  3. $h(x) = x^2 – 4x + 5$
  • Opgave a: Beregn diskriminanten $d = b^2 – 4ac$ for hver af de tre funktioner.
  • Opgave b: Afgør for hver funktion, om grafen har 0, 1 eller 2 nulpunkter (skæringer med x-aksen) baseret på diskriminantens værdi.
  • Opgave c: Forklar kort sammenhængen mellem diskriminantens fortegn (plus, minus eller nul) og antallet af nulpunkter.

Opgave 2: Bestemmelse af nulpunkter

Et andengradspolynomium er givet ved forskriften: $$f(x) = -2x^2 + 8x – 6$$

  • Opgave a: Beregn diskriminanten $d$.
  • Opgave b: Benyt rodformlen $x = \frac{-b \pm \sqrt{d}}{2a}$ til at bestemme funktionens nulpunkter.
  • Opgave c: Et andet polynomium er givet ved $g(x) = x^2 – 6x + 9$. Vis ved beregning, at dette polynomium kun har ét nulpunkt, og angiv værdien for dette nulpunkt.

Opgave 3: Parameterværdier og teori

I denne opgave skal vi undersøge, hvordan konstanten $c$ påvirker antallet af nulpunkter. Vi ser på funktionen: $$f(x) = x^2 – 6x + k$$ hvor $k$ er et tal (en parameter).

  • Opgave a: Bestem værdien af $k$, således at polynomiet har netop ét nulpunkt. (Hint: Opstil et udtryk for diskriminanten og sæt $d = 0$).
  • Opgave b: For hvilke værdier af $k$ har polynomiet ingen nulpunkter? Argumentér for dit svar ved hjælp af uligheder.
  • Opgave c: Redegør for sammenhængen mellem nulpunkter og faktorisering. Hvis et andengradspolynomium har nulpunkterne $x = 2$ og $x = 5$, og koefficienten $a = 1$, hvordan ser forskriften så ud på formen $f(x) = a(x – r_1)(x – r_2)$? Gang udtrykket ud for at finde den almindelige forskrift $y=ax^2 + bx + c$.