Opgaver i Konfidensintervaller for en middelværdi
Fag: Matematik B
Opgave 1: Grundlæggende beregning
En virksomhed har målt læsetiden på deres årsrapport for 36 tilfældigt udvalgte medarbejdere. Det er kendt, at spredningen (standardafvigelsen) er $\sigma = 5$ minutter. Gennemsnittet i stikprøven er $\bar{x} = 25$ minutter.
Formlen for et 95 % konfidensinterval for middelværdien er: $$\bar{x} \pm 1,96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
- Opgave a: Beregn fejlmarginen (usikkerheden) til konfidensintervallet.
- Opgave b: Bestem det 95% konfidensinterval for den sande gennemsnitlige læsetid for alle medarbejdere.
- Opgave c: Forklar med almindelige ord, hvad intervallet fra opgave b fortæller os om læsetiden.
Opgave 2: Praktisk anvendelse og fortolkning
En webshop har undersøgt, hvor lang tid kunderne bruger på at gennemføre et køb. Fra en repræsentativ stikprøve på $n = 100$ kunder er det fundet, at gennemsnittet er $\bar{x} = 4,2$ minutter med en spredning på $\sigma = 1,5$ minutter.
- Opgave a: Beregn et 95% konfidensinterval for den sande gennemsnitlige købstid.
- Opgave b: Virksomheden har et mål om, at den gennemsnitlige købstid skal være under 4,5 minutter. Kan man med 95% sikkerhed konkludere, at dette tilfældet? Begrund dit svar på baggrund af det bestemte konfidensinterval.
- Opgave c: Hvad sker der med bredden af konfidensintervallet, hvis man kun havde udtaget en stikprøve på $n = 25$ kunder i stedet for 100? Forklar hvorfor.
Opgave 3: Teoretisk analyse og effekter
En virksomhed ønsker at bestemme den gennemsnitlige løn for deres 2000 ansatte. De udtager en stikprøve på $n = 100$ ansatte og finder et gennemsnit på $\bar{x} = 28.500$ kr. med en spredning på $\sigma = 3.000$ kr.
- Opgave a: Beregn fejlmarginen for et 95 % konfidensinterval.
- Opgave b: Beregn fejlmarginen for et 99 % konfidensinterval (brug $z = 3$), og sammenlign med bredden fra opgave a. Forklar, hvorfor et højere konfidensniveau giver et bredere interval.
- Opgave c: Diskuter betydningen af stikprøvestørrelsen. Hvis virksomheden havde taget en stikprøve på $n = 400$ i stedet for 100, hvad ville dette betyde for fejlmarginen (usikkerheden) i konfidensintervallet?