Opgaver i Konfidensintervaller for en andel
Fag: Matematik B
Opgave 1: Grundlæggende beregning
I en markedsundersøgelse for en ny energidrik bliver 200 tilfældigt udvalgte forbrugere spurgt, om de kan lide smagen. 60 af de adspurgte svarer “ja”.
Formlen for et 95%-konfidensinterval for en andel $p$ er: $$ \hat{p} \pm 1,96 \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} $$
- Opgave a: Bestem stikprøveandelen $\hat{p}$.
- Opgave b: Beregn 95%-konfidensintervallet for den sande andel af forbrugere i hele populationen, der kan lide smagen.
- Opgave c: Forklar med ord, hvad dette interval fortæller virksomheden om deres markedsandel.
Opgave 2: Politisk meningsmåling og fortolkning
Et politisk parti ønsker at vide, om de står til at få mere end 10% af stemmerne ved næste valg. I en meningsmåling blandt 500 vælgere svarer 65, at de vil stemme på partiet.
- Opgave a: Beregn stikprøveandelen $\hat{p}$ og det tilhørende 95%-konfidensinterval.
- Opgave b: Kan partiet med 95% sikkerhed sige, at de vil få over 10% af stemmerne? Begrund dit svar ud fra konfidensintervallet.
- Opgave c: Hvad ville der ske med bredden af konfidensintervallet (usikkerheden), hvis man i stedet havde spurgt 2000 vælgere og fået den samme stikprøveandel?
Opgave 3: Betingelser og fejlmargen
Når man bruger formlen for konfidensintervaller for en andel, benytter man normalfordelingsapproksimationen. En tommelfingerregel siger, at betingelsen $n \cdot \hat{p} > 5$ og $n \cdot (1-\hat{p}) > 5$ skal være opfyldt.
En virksomhed tester fejlraten på en maskine. I en stikprøve på $n = 100$ enheder findes kun 2 fejlbehæftede enheder ($\hat{p} = 0,02$).
- Opgave a: Undersøg, om betingelsen for at bruge normalfordelingsapproksimationen er opfyldt i dette tilfælde.
- Opgave b: Diskuter, hvorfor det er problematisk at bruge et konfidensinterval baseret på normalfordelingen, hvis stikprøven er for lille eller andelen $\hat{p}$ er meget tæt på 0 eller 1.