Opgaver i Introduktion til Lineær Programmering
Fag: Matematik B
Opgave 1: Funktion af to variabler og begrænsninger
En virksomhed producerer to typer t-shirts:
- Basis ($x$ stk.) – giver en fortjeneste på 20 kr. pr. stk.
- Premium ($y$ stk.) – giver en fortjeneste på 40 kr. pr. stk.
Den samlede fortjeneste kaldes $F$.
- Opgave a: Opstil en forskrift for fortjenestefunktionen $F(x, y)$.
- Opgave b: Hvor stor er fortjenesten, hvis virksomheden producerer 10 basis- og 5 premium-t-shirts?
- Opgave c: Forklar med ord, hvad det vil sige at $F(x, y)$ er en lineær målfunktion.
Opgave 2: Definitionsmængde for funktion af to variabler
En produktionsproces er underlagt to begrænsninger:
- Stof: $2x + y \leq 100$
- Arbejdstid: $x + 3y \leq 90$
- Ikke-negativitet: $x \geq 0, y \geq 0$
hvor:
- $x$: antal enheder af produkt A
- $y$: antal enheder af produkt B
- Opgave a: Tegn begrænsningslinjerne i et $xy$-koordinatsystem (brug grafisk afgrænsning).
- Opgave b: Marker det mulige område (polygonområdet), hvor alle betingelser er opfyldt.
- Opgave c: Aflæs koordinaterne til polygonområdets hjørnepunkter. (Du skal ikke optimere endnu.)
Opgave 3: Optimal løsning
I en produktionsplan er det mulige område givet ved følgende hjørnepunkter:
$$
(0,0),\ (0,30),\ (20,20),\ (40,10),\ (50,0)
$$
Fortjenestefunktionen er:
$$
F(x,y) = 30x + 50y
$$
- Opgave a: Beregn fortjenesten $F(x,y)$ i hvert af de fem hjørnepunkter.
- Opgave b: Hvilket hjørnepunkt giver den største fortjeneste?