Opgaver i Forskrift og Graf for Eksponentielle Funktioner
Fag: Matematik C
Opgave 1: Forskrift og vækstrate
En eksponentiel funktion har den generelle forskrift $f(x) = b \cdot a^x$. Vi betragter funktionen: $$f(x) = 150 \cdot 1{,}08^x$$
- Opgave a: Angiv værdien for begyndelsesværdien $b$ og fremskrivningsfaktoren $a$.
- Opgave b: Beregn vækstraten $r$ ved hjælp af formlen $r = a – 1$. Angiv resultatet som et procentsat.
- Opgave c: Beregn funktionsværdien $f(3)$.
Opgave 2: Voksende værdi af opsparing
En investering på en opsparingskonto kan beskrives ved en eksponentiel udvikling. Beløbet på kontoen $f(x)$ efter $x$ år er givet ved: $$f(x) = 5000 \cdot 1{,}03^x$$
- Opgave a: Hvor mange penge blev der oprindeligt sat ind på kontoen, og hvad er den årlige rente i procent?
- Opgave b: Forklar, hvorfor grafen for denne funktion er voksende. Hvad skulle der gælde for fremskrivningsfaktoren $a$, hvis beløbet i stedet faldt over tid?
- Opgave c: Beregn, hvor mange penge der står på kontoen efter 10 år.
Opgave 3: Aftagende værdi af maskine
Værdien af en teknisk maskine falder med 15% hvert år (værdiforringelse). Maskinen koster 200.000 kr. som ny.
- Opgave a: Bestem fremskrivningsfaktoren $a$ ud fra vækstraten ($r = -0{,}15$), og opstil en forskrift for maskinens værdi $V(x)$ som funktion af antal år $x$.
- Opgave b: Redegør for sammenhængen mellem forskriften og grafens udseende. Hvor skærer grafen $y$-aksen, og hvad sker der med grafen, når $x$ bliver meget stor?
- Opgave c: En anden maskine følger forskriften $g(x) = 200.000 \cdot 0{,}90^x$. Hvilken af de to maskiner taber hurtigst sin værdi? Begrund dit svar ved at sammenligne de to funktioners $a$-værdier.