Opgaver i Introduktion til Analytisk Geometri
Fag: Matematik B
Opgave 1: Punkter i et koordinatsystem
To punkter er placeret i et retvinklet koordinatsystem: $A(2, 1)$ og $B(8, 9)$.
- Opgave a: Beregn afstanden mellem punkt $A$ og punkt $B$.
- Opgave b: Bestem koordinatsættet til midtpunktet $M$ af linjestykket $AB$.
- Opgave c: Et tredje punkt $C$ har koordinaterne $(5, 5)$. Ligger punkt $C$ tættest på $A$ eller $B$?
Opgave 2: Grafer for funktioner
En lineær funktion $f$ er givet ved, at dens graf går gennem punkterne $P(1, 4)$ og $Q(3, 10)$.
- Opgave a: Bestem en forskrift for funktionen $f$ på formen $f(x) = ax + b$.
- Opgave b: Bestem grafens skæringspunkter med henholdsvis x-aksen og y-aksen.
- Opgave c: En anden funktion $g$ er givet ved $g(x) = -2x + 12$. Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem graferne for $f$ og $g$.
Opgave 3: Geometriske egenskaber
Vi betragter tre punkter i koordinatsystemet: $A(-2, 1)$, $B(2, 4)$ og $C(5, 0)$. Disse punkter danner en trekant $ABC$.
- Opgave a: Beregn hældningskoefficienten for linjen gennem $A$ og $B$, samt hældningskoefficienten for linjen gennem $B$ og $C$.
- Opgave b: Brug dine resultater fra opgave a til at ræsonnere om, hvorvidt trekant $ABC$ er retvinklet i vinkel $B$. (Hint: Benyt reglen om produktet af hældningskoefficienter for ortogonale linjer: $a_1 \cdot a_2 = -1$).
- Opgave c: Ræsonnér over, hvad der sker med trekantens form (vinkel $B$), hvis punkt $C$ flyttes til koordinatsættet $(6, 1)$. Vil vinklen stadig være ret, eller vil den blive spids/stump? Argumentér uden nødvendigvis at tegne.