Opgaver i Integralregning
Fag: Matematik A
Emne: Integralregning
Opgave 1: Karakteren 02
Emne: Bestemmelse af stamfunktion.
En funktion $f$ er givet ved: $$f(x) = 6x^2 + 4x – 5$$
- Opgave: Bestem den stamfunktion $F(x)$, som opfylder, at integrationskonstanten $k = 0$.
Opgave 2: Karakteren 4
Emne: Det bestemte integral.
- Opgave: Beregn værdien af det bestemte integral: $$\int_{1}^{3} (2x + 4) dx$$
Opgave 3: Karakteren 7
Emne: Arealet mellem graf og akse.
En funktion $f$ er givet ved: $$f(x) = -x^2 + 4$$
- Opgave: Grafen for $f$ afgrænser sammen med førsteaksen (x-aksen) en punktmængde $M$, hvor punkterne har positive værdier for deres anden-koordinat (y-værdi). Bestem arealet af denne punktmængde.
Opgave 4: Karakteren 10
Emne: Omdrejningslegemer (Volume).
En funktion $f$ er givet ved $f(x) = \sqrt{x}$ i intervallet $[0 ; 4]$. Punktmængden mellem grafen for $f$ og x-aksen drejes $360^\circ$ omkring x-aksen, hvorved der dannes et omdrejningslegeme.
- Opgave: Beregn rumfanget (volumen) af dette omdrejningslegeme.
Opgave 5: Karakteren 12
Emne: Integration ved substitution og arealfunktionens bevis.
-
Opgave a: Beregn det ubestemte integral ved hjælp af substitutionsmetoden: $$\int 2x \cdot e^{x^2} dx$$
-
Opgave b: Redegør for sammenhængen mellem arealfunktionen $A(x)$ og funktionen $f(x)$. Gennemfør beviset for, at $A’(x) = f(x)$ for en kontinuert og ikke-negativ funktion.
-
Opgave c: Forklar, hvorfor man skal lægge en konstant $k$ til, når man finder det ubestemte integral, men ikke behøver den, når man beregner det bestemte integral.