Opgaver i Hypotesetest
Fag: Matematik B
Opgave 1: Grundlæggende principper
En kaffemaskine på en arbejdsplads er indstillet til at skænke 200 mL kaffe i gennemsnit pr. kop. En medarbejder mistænker, at maskinen skænker for lidt, og undersøger derfor indholdet af 30 kopper.
- Opgave a: Opstil en nulhypotese ($H_0$) og en alternativ hypotese ($H_1$) for medarbejderens undersøgelse.
- Opgave b: Forklar, hvad et signifikansniveau på 5% betyder i denne sammenhæng.
- Opgave c: Medarbejderen beregner en p-værdi på 3%. Skal nulhypotesen forkastes eller accepteres på et 5% signifikansniveau? Begrund dit svar.
Opgave 2: Z-test for middelværdi
En virksomhed påstår, at deres ansatte i gennemsnit tjener 35.000 kr. om måneden. Det er kendt fra tidligere store undersøgelser, at spredningen (standardafvigelsen) i branchen er $\sigma = 4.000$ kr. En fagforening udtager en stikprøve på $n = 50$ ansatte og finder et gennemsnit på $\bar{x} = 33.500$ kr.
- Opgave a: Beregn teststørrelsen $z$ (Z-score) ved hjælp af formlen: $$z = \frac{\bar{x} – \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$$
- Opgave b: Benyt dit CAS-værktøj til at finde p-værdien for en test baseret på den fundne $z$-værdi.
- Opgave c: Konkludér på undersøgelsen: Er der statistisk belæg for at sige, at gennemsnitslønnen er forskellig fra de 35.000 kr. på et 5% signifikansniveau?
Opgave 3: Testteori og fejlkilder
En maskine pakker mel i poser, der skal veje 1000 g. Det antages, at vægten er normalfordelt med $\sigma = 10$ g. Kvalitetskontrollen udtager en stikprøve for at sikre, at maskinen ikke underfylder poserne.
- Opgave a: Redegør for forskellen på en ensidet og en tosidet test. Hvilken type test er mest relevant her, hvis vi kun er interesserede i, om maskinen fylder for lidt i poserne?
- Opgave b: Forklar begrebet “Type 1-fejl” (at forkaste en sand nulhypotese). Hvad er sandsynligheden for at begå en Type 1-fejl, hvis man tester på et signifikansniveau på 1%?
- Opgave c: Diskuter betydningen af stikprøvestørrelsen $n$. Hvad sker der med testens styrke (evnen til at opdage en reel afvigelse) og p-værdien, hvis man øger $n$ fra 25 til 100, mens den observerede middelværdi $\bar{x}$ forbliver den samme?