Opgaver i Finansiel regning

Fag: Matematik C

Emne: Finansiel regning

Opgave 1: Karakteren 02

Emne: Kapitalfremskrivning (Rentes rente)

Du sætter 5.000 kr. ind på en opsparingskonto. Renten er 2% pr. år.

  • Opgave a: Hvad er startkapitalen ($K_0$), og hvad er rentefoden ($r$)?
  • Opgave b: Brug kapitalfremskrivningsformlen $K_n = K_0 \cdot (1 + r)^n$ til at beregne, hvor meget der står på kontoen efter 10 år.

Opgave 2: Karakteren 4

Emne: Find antal terminer ($n$)

Du har 10.000 kr., som du sætter ind på en konto med en årlig rente på 3%. Du vil gerne vide, hvor længe der går, før beløbet er vokset til 15.000 kr.

  • Opgave a: Opstil ligningen: $15.000 = 10.000 \cdot 1,03^n$.
  • Opgave b: Løs ligningen for at finde $n$ (brug dit CAS-værktøj eller logaritmer).
  • Opgave c: Hvad betyder det, hvis $n$ ikke er et helt tal i den virkelige verden?

Opgave 3: Karakteren 7

Emne: Annuitetsopsparing

Du beslutter dig for at spare op til en rejse. Du sætter 1.000 kr. ind på en konto hver måned (termin). Renten er 0,5% pr. måned.

  • Opgave a: Brug annuitetsopsparingsformlen $A_n = y \cdot \frac{(1 + r)^n – 1}{r}$ til at beregne, hvor meget du har sparet op efter 2 år (24 terminer).
  • Opgave b: Hvor meget har du i alt selv indbetalt, og hvor meget er renter?

Opgave 4: Karakteren 10

Emne: Annuitetslån og restgæld

Du køber en bil og tager et lån på 200.000 kr. Renten er 1% pr. måned, og du betaler 4.000 kr. tilbage hver måned (ydelse).

  • Opgave a: Brug gældsformlen (annuitetslån) til at bestemme, hvor mange måneder det tager at betale lånet helt af.
  • Opgave b: Beregn restgælden efter 12 måneder. (Brug formlen for restgæld eller lav en tabel i Excel/regneark).
  • Opgave c: Forklar, hvorfor rentebeløbet bliver mindre for hver måned, man betaler af på lånet.

Opgave 5: Karakteren 12

Emne: Teoretisk bevis og kritisk økonomisk forståelse

  • Opgave a: Gennemfør beviset for formlen for annuitetsopsparing ($A_n = y \cdot \frac{(1 + r)^n – 1}{r}$). Du skal bruge summen af en kvotientrække (geometrisk række) i dit bevis.
  • Opgave b: Forklar betydningen af effektiv årlig rente, hvis renten tilskrives flere gange om året (f.eks. hver måned).
  • Opgave c: Diskuter, hvordan inflation påvirker værdien af din opsparing over 30 år. Selvom tallet på kontoen stiger, kan man så nødvendigvis købe mere for pengene?