Opgaver i Eksponentiel regression
Fag: Matematik C
Opgave 1: Eksponentiel regression
I denne opgave skal du lave eksponentiel regression over et datasæt, der viser en vækst.
| $x$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | 10,0 | 15,1 | 22,4 | 33,8 | 50,5 |
- Opgave a: Indtast tallene i dit it-værktøj og udfør en eksponentiel regression. Angiv forskriften på formen $f(x) = b \cdot a^x$.
- Opgave b: Benyt din model til at beregne funktionsværdien $f(7)$.
Opgave 2: Værditab og forklaringsgrad
En elev undersøger prisen på en brugt maskine som funktion af dens alder i år. Følgende data er indsamlet:
| Alder i år ($x$) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Pris i kr. ($y$) | 185.000 | 158.000 | 134.000 | 114.000 | 97.000 |
- Opgave a: Find forskriften for en eksponentiel model $f(x) = b \cdot a^x$ ved hjælp af regression, og angiv forklaringsgraden $R^2$.
- Opgave b: Hvad fortæller tallene $b$ og $r$ (vækstraten) om maskinens værdi? Angiv herunder hvor mange procent maskinen taber i værdi pr. år.
Opgave 3: Teknologisk udvikling og model-vurdering
Inden for computerteknologi findes en teori kaldet Mohr’s lov der siger, at antallet af transistorer i en mikrochip vokser eksponentielt over tid. Her ses data for en række chips udviklet over en 10-årig periode:
| År efter start ($x$) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Antal (mio.) ($y$) | 120 | 255 | 510 | 1100 | 2250 | 4600 |
- Opgave a: Gennemfør en eksponentiel regression og bestem forskriften for udviklingen. Vurder modellens pålidelighed ved at se på $R^2$ og ved at sammenligne modellens forudsigelse for år 10 med den faktiske observation.
- Opgave b: Redegør for de fysiske begrænsninger, der kan gøre, at en eksponentiel model ikke kan fortsætte i al evighed (ekstrapolation). Hvis man forudsiger antallet af transistorer 50 år frem i tiden, vil modellen da stadig være realistisk? Begrund dit svar.