Opgaver i Bestemmelse af Polynomier

Fag: Matematik B

Opgave 1: Konstanter og grad

Vi betragter to forskellige polynomier:

  1. $f(x) = -3x^2 + 5x – 7$
  2. $g(x) = 2x^3 – 4x^2 + x + 10$
  • Opgave a: Angiv graden for hvert af de to polynomier.
  • Opgave b: Identificer værdien af konstantleddet (det led, der ikke er ganget med $x$) i begge funktioner. Hvad fortæller dette tal om grafens skæring med y-aksen?
  • Opgave c: Beregn funktionsværdien $g(2)$ ved at indsætte $x = 2$ i forskriften for $g(x)$.

Opgave 2: Rødder og faktoriseret form

Et tredjegradspolynomium kan skrives på faktoriseret form som: $$f(x) = a(x – r_1)(x – r_2)(x – r_3)$$ Vi ser på polynomiet $f(x) = 2(x – 1)(x + 3)(x – 5)$.

  • Opgave a: Angiv de tre rødder ($r_1, r_2, r_3$) for polynomiet ud fra den faktoriserede form.
  • Opgave b: Hvis man ganger parenteserne ud, vil det højeste led blive $2x^3$. Da koefficienten $a=2$ er positiv, hvad kan du så sige om grafens forløb, når $x$ bliver meget stor ($x \to \infty$)?
  • Opgave c: Et fjerdegradspolynomium $g(x)$ har rødderne $-2, 0, 2$ og $4$. Opstil en mulig forskrift for $g(x)$ på faktoriseret form (du må selv vælge værdien for $a$).

Opgave 3: Grafiske egenskaber og sammenligning

  • Opgave a: Sammenlign graferne for $f(x) = x^2$ og $g(x) = x^4$. Begge grafer går gennem punktet $(1,1)$. Forklar, hvilken af de to grafer der ligger “fladest” i intervallet mellem $x = -1$ og $x = 1$, og hvilken der vokser hurtigst, når $x > 1$.
  • Opgave b: Et tredjegradspolynomium $h(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ har den egenskab, at det altid har mindst én rod. Argumenter for, hvorfor et tredjegradspolynomium altid skal skære x-aksen mindst én gang, mens et andengradspolynomium ikke behøver at gøre det.
  • Opgave c: Redegør for det maksimale antal lokale ekstrema, som et polynomium af grad $n$ kan have. Hvor mange gange kan et femtegradspolynomium maksimalt skære x-aksen?