Opgaver i Bestemmelse af Eksponentiel Funktion ud fra To Punkter
Fag: Matematik C
Opgave 1: Brug af to-punktsformlen
Når vi kender to punkter $(x_1, y_1)$ og $(x_2, y_2)$ for en eksponentiel udvikling, kan vi finde fremskrivningsfaktoren $a$ og begyndelsesværdien $b$ ved hjælp af formlerne: $$a = \sqrt[x_2 – x_1]{\frac{y_2}{y_1}} \quad \text{og} \quad b = \frac{y_1}{a^{x_1}}$$
En eksponentiel funktion $f(x) = b \cdot a^x$ går gennem punkterne $A(1, 6)$ og $B(2, 12)$.
- Opgave a: Beregn fremskrivningsfaktoren $a$ ved at indsætte punkternes koordinater i formlen.
- Opgave b: Bestem begyndelsesværdien $b$ ved at indsætte den fundne $a$-værdi og koordinaterne fra punktet $A$ i formlen for $b$.
- Opgave c: Opstil den samlede forskrift for funktionen.
Opgave 2: Eksponentielt fald
En eksponentiel udvikling er aftagende og går gennem punkterne $P(2, 100)$ og $Q(4, 25)$.
- Opgave a: Bestem forskriften for den eksponentielle funktion ved beregning.
- Opgave b: Forklar, hvordan man ud fra din beregnede $a$-værdi kan se, at funktionen er aftagende, og beregn hvor mange procent værdien falder med, hver gang $x$ vokser med 1.
Opgave 3: Biologisk vækstmodel
I et laboratorieforsøg følges væksten af en bakteriekultur. Tidspunktet $t$ måles i timer efter forsøgets start. Efter 2 timer er der 200 bakterier i prøven, og efter 5 timer er antallet steget til 1600 bakterier.
- Opgave a: Opstil de to observationer som punkter $(t, N(t))$ og benyt dem til at bestemme en forskrift $N(t) = b \cdot a^t$ for antallet af bakterier som funktion af tiden.
- Opgave b: Hvad var det oprindelige antal bakterier i prøven ved forsøgets start ($t=0$)?
- Opgave c: En anden bakteriekultur vokser med en vækstrate på 85% i timen. Vurder hvilken af de to bakteriekulturer, der har den største vækst.