Opgaver i Bestemmelse af Andengradspolynomier
Fag: Matematik C
Opgave 1: Regression med andengradspolynomier
En virksomhed har målt sammenhængen mellem deres annonceudgifter $x$ (1.000 kr.) og deres omsætning $y$ (1.000 kr.). Data for 5 måneder er vist her:
| Annonceudgifter ($x$) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|
| Omsætning ($y$) | 150 | 280 | 360 | 400 | 410 |
- Opgave a: Benyt dit it-værktøj til at udføre en andengradsregression på datasættet, og opskriv forskriften for modellen $f(x) = ax^2 + bx + c$.
- Opgave b: Benyt modellen til at beregne den forventede omsætning, hvis virksomheden bruger 25.000 kr. på annoncer.
- Opgave c: Forklar, hvorfor en parabel (andengradspolynomium) ofte er en bedre model for annonceudgifter end en ret linje.
Opgave 2: Modelvalg og forklaringsgrad
En produktionsvirksomhed undersøger deres totale omkostninger $y$ som funktion af antallet af producerede enheder $x$.
- Opgave a: Udfør både en lineær regression og en andengradsregression på et givet datasæt (antag at data er indtastet i CAS). Opskriv $R^2$-værdien (forklaringsgraden) for begge modeller.
- Opgave b: Vurder, hvilken af de to modeller der beskriver data bedst. Inddrag både $R^2$-værdien og en visuel vurdering af graferne i forhold til datapunkterne.
- Opgave c: Forklar, hvad $R^2$-værdien fortæller om modellens pålidelighed, og hvorfor man ikke altid bare skal vælge den model med den højeste $R^2$.
Opgave 3: Økonomisk optimering
En virksomhed har fundet frem til en model for deres overskud $O(x)$ (målt i kr.) baseret på prisen $x$ (målt i kr.) ved hjælp af regression: $$ O(x) = -2,5x^2 + 500x – 15000 $$
- Opgave a: Bestem ved hjælp af parablens egenskaber (toppunktsformlen) den pris $x$, der giver det maksimale overskud.
- Opgave b: Bestem de to priser, hvor overskuddet er præcis 0 kr.