Opgaver i Stykkevist Lineære Funktioner

Fag: Matematik C

Opgave 1: Gaffelforskrift og aflæsning

En funktion $f$ er defineret ved gaffelforskriften:

$$ f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{for } x \leq 3 \\ -1{,}5x + 10 & \text{for } x > 3 \end{cases} $$

  • Opgave a: Beregn $f(2)$ og $f(4)$.

  • Opgave b: Hvilken del af funktionen bruges til at bestemme $f(3)$?

  • Opgave c: Tegn grafen for funktionen og vurder om den er sammenhængende i $x = 3$?

Opgave 2: Graf og funktionsanalyse

En stykkevist defineret funktion $g$ har forskriften:

$$ g(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{for } x < 2 \\ 5 & \text{for } 2 \leq x \leq 6 \\ -2x + 17 & \text{for } x > 6 \end{cases} $$

  • Opgave a: Tegn grafen for $g(x)$ i et koordinatsystem vha. et graf-program.

  • Opgave b: Bestem $g(0)$, $g(4)$ og $g(7)$.

  • Opgave c: Aflæs eller beregn, for hvilke $x$-værdier der gælder $g(x) = 5$.

Opgave 3: Skattesystemet

I Danmark betales personskat i trin. En forenklet model for skatten $S$ (i kr.) afhængigt af indkomsten $x$ (i kr.) er givet ved følgende gaffelforskrift:

$$ S(x) = \begin{cases} 0{,}08x & \text{for } 0 \leq x \leq 50.000 \\ 0{,}30x – 11.000 & \text{for } 50.000 < x \leq 100.000 \\ 0{,}52x – 31.000 & \text{for } x > 100.000 \end{cases} $$

  • Opgave a: Beregn, hvor meget skat en person betaler, hvis deres årsindkomst er 40.000 kr., 75.000 kr. og 120.000 kr.

  • Opgave b: Forklar, hvad tallet $0{,}52$ betyder i den øverste trin.

  • Opgave c: Gør rede for, om skattefunktionen er sammenhængende ved $x = 100.000$. Er skattetrykket “rimeligt” ved overgangen, eller sker der et pludseligt spring?