Opgaver i Vilkårlige Trekanter og Trigonometri

Fag: Matematik C

Opgave 1: Cosinusrelationen og den manglende side

I vilkårlige trekanter kan vi ikke bruge de simple definitioner for sin, cos og tan. Hvis vi kender to sider og den mellemliggende vinkel, bruger vi i stedet cosinusrelationen: $$c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cdot \cos(C )$$

I en trekant $ABC$ er oplyst følgende mål: Siden $a = 7$, siden $b = 10$ og vinkel $C = 60^\circ$.

  • Opgave a: Indsæt de oplyste værdier i formlen for $c^2$.
  • Opgave b: Beregn længden af siden $c$. (Husk at tage kvadratroden til sidst).
  • Opgave c: Hvis vinklen $C$ havde været præcis $90^\circ$, ville leddet $-2ab \cdot \cos(C )$ blive nul. Hvilken kendt læresætning ville formlen så ligne?

Opgave 2: Bestemmelse af vinkler i en stålkonstruktion

En ingeniør skal kontrollere vinklerne i en trekantet stålspærskonstruktion. Han måler de tre sidelængder til at være: $a = 5{,}0 \text{ m}$, $b = 7{,}0 \text{ m}$ og $c = 10{,}0 \text{ m}$.

Når vi skal finde en vinkel (f.eks. vinkel $A$), omskriver vi cosinusrelationen til: $$\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}$$

  • Opgave a: Beregn vinkel $A$ ved hjælp af den omskrevne formel og den inverse cosinus-funktion ($\cos^{-1}$).
  • Opgave b: Beregn vinkel $C$ (vinklen over for den længste side).
  • Opgave c: Afgør ud fra din beregning i opgave b, om trekanten er spidsvinklet, retvinklet eller stumpvinklet.

Opgave 3: Sinusrelationerne og det tvetydige tilfælde

Nogle gange kender vi et “par” (en side og dens modstående vinkel). Her bruger vi sinusrelationerne: $$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C )}$$

Vi betragter en trekant $ABC$, hvor vinkel $A = 40^\circ$, siden $a = 10$ og siden $b = 12$.

  • Opgave a: Beregn vinkel $B$ ved hjælp af sinusrelationerne. Vær opmærksom på, at der matematisk findes to mulige vinkler (en spids og en stump), hvis sinus giver det samme tal. Find begge vinkler (hvor $B_2 = 180^\circ – B_1$).
  • Opgave b: Undersøg, om begge løsninger for vinkel $B$ er geometrisk mulige i denne trekant (tjek om vinkelsummen $A + B < 180^\circ$). Hvor mange forskellige trekanter kan der reelt dannes med de givne mål?
  • Opgave c: Beregn arealet af trekanten (for den løsning hvor vinkel $B$ er spids) ved hjælp af den trigonometriske arealformel.